О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: контрольная работа по математике класс, хозяйство реферат
Добавил(а) на сайт: Милий.
Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата
Наличие нулей при n = 2, 4 и 6 не должно нас удивлять. Дело в том, что ряды φ(x) и φ3(x) настолько разрежены, что в произведениях φ(x)φ(x), φ(x)φ3(x) и φ3(x)φ3(x) некоторые члены могут отсутствовать ещё до приведения подобных членов. Например, числа 11, 18, 21 (и многие другие) не представляются как суммы двух чисел вида ½(3n2 ± n) и потому члены с x11, x18, x21 отсутствуют в φ2(x). По аналогичной причине члены с x9, x14, x19 (и другие) отсутствуют в φ4(x), а члены с x5, x8, x14 (и другие) отсутствуют в φ6(x).
А вот «подскоки» числа c(n) при n = 8, 10, 14 так просто не объяснить. Оказывается, для φ8(x), φ10(x), φ14(x) имеются некоторые формулы, хотя и не столь изящные, как тождества Эйлера и Гаусса. (Такая формула есть и для φ15(x), но это не сказывается на нашей таблице.) Для иллюстрации я приведу формулу для φ8(x), по существу принадлежащую Ф. Клейну:
|
φ8(x) = |
∑ |
( |
1 3 |
+ |
3 2 |
(3klm – kl – km – lm) |
) |
x–(kl + km + lm), |
где суммирование в правой части происходит по всем тройкам k, l, m целых чисел с k + l + m = 1.
(Хотя эта формула не особенно проста, она позволяет заметить, что если n не представляется в виде –(kl + km + lm), где k, l, m – целые числа с суммой 1, то есть в виде k 2 + l 2 + kl – k – l с произвольными целыми k, l, то член с хn отсутствует в ряде φ8(x). Например, в таком виде не представляются числа, имеющие при делении на 4 остаток 3, а также числа 13, 18, 28, 29.)
Из сказанного видно, что среди целых чисел имеются некие «избранные показатели» n, для которых ряд φn(x) имеет более или менее благоустроенный вид. Загадка «избранных показателей» была (тоже более или менее) разгадана совсем недавно, и главная заслуга в этом принадлежит английскому математику Яну Макдональду. Интересный рассказ об открытии Макдональда содержится в статье Ф. Дж. Дайсона «Упущенные возможности», русский перевод которой опубликован в первом выпуске журнала «Успехи математических наук» за 1980 год.
О Дайсоне и его статье стоит сказать особо. Дайсон – один из крупнейших физиков нашего времени, математик по образованию. [Тем, кто интересуется вопросами развития Интернет-сообщества, наверное, известна его дочь – Эстер Дайсон. – E.G.A.] Главная цель его статьи – показать на ряде ярких примеров, как значительные математические и физические открытия задерживались, порою на десятки лет, из-за отсутствия должного взаимодействия между специалистами в той и другой науке. Хотя статья не адресована школьникам и многое в ней будет вам непонятно, я уверен, что её чтение доставит вам удовольствие. А здесь я приведу (с сокращениями) отрывок из этой статьи, непосредственно касающийся нашего предмета.
6. Рассказ Ф. Дж. Дайсона
«Начну с банальной истории, случившейся со мной. Это живая иллюстрация того, какие возможности упускаются по причине узкой специализации. Свою научную деятельность я начинал с теории чисел. В мои студенческие годы в Кембридже я учился у Г. Харди, уже тогда бывшего легендарной личностью. Даже первокурсникам в те годы было ясно, что теория чисел в духе Харди и Рамануджана устарела и блестящее будущее её не ждёт. Сам Харди в лекции о τ-функции Рамануджана назвал этот сюжет «одной из тихих заводей математики». Значения τ-функции – это коэффициенты ряда:
|