Приложения производной
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: оформление доклада, шпаргалка егэ
Добавил(а) на сайт: Самусенко.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
2) составляем отношение[pic]
3) считая x постоянным, а ? x (0, находим[pic], который обозначаем через
f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь
от того значения x, при котором мы переходим к пределу.
Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.
Таким образом, [pic], или [pic]
Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение
[pic]при ? x(0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не
дифференцируема в точке x=a.
2. Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки
x0
[pic]
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции -
точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)).
Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у;
tg?=?y/?x .
Так как АС || Ox, то (ALO = (BAC = ? (как соответственные при
параллельных). Но (ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному
направлению оси Ох. Значит, tg? = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет
приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.
Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая
касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tg? =?y/?x, то получим[pic]
или tg( =f '(x0), так как [pic] (-угол наклона касательной к положительному
направлению оси Ох [pic], по определению производной. Но tg( = k - угловой
коэффициент касательной, значит, k = tg( = f '(x0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
3. Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в
любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость
за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного
за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t > 0.
lim Vср (t) = ((t0) - мгновенная скорость в момент времени t0, ?t > 0.
а lim = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).
Итак, ((t) =x'(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции
y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной
функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от
времени.
((t) = x'(t) - скорость, a(f) = ('(t) - ускорение, или
a(t) = x"(t).
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно
найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
? = ?(t) - изменение угла от времени,
? = ?'(t) - угловая скорость,
? = ?'(t) - угловое ускорение, или ? = ?"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно
найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса, x ( [0; l], l - длина стержня, р = m'(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических
колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.
Положив ?2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника
х"(t) + ?2x(t) = 0, где ? = ?k/?m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ?2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний
(механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений
является функция
у = Asin(?t + ?0) или у = Acos(?t + ?0), где
А - амплитуда колебаний, ? - циклическая частота,
?0 - начальная фаза.
4. Правила дифференцирования
|(C)’= 0 С=const |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|(cos x)'=-sin x |[pic] |
|(sin x)'=cos x |[pic] |
|(tg x)'=[pic] |(ах)'=аx ln a |
|(ctg x)'=-[pic] |(ех)'=ex |
|[pic] | |
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Производная степенно-показательной функции
[pic], где [pic].
[pic].
Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция [pic]. При этом
предполагается, что функция [pic] не обращается в нуль в точке [pic].
Покажем один из способов нахождения производной функции [pic], если [pic]
очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти
производную затруднительно.
Так как по первоначальному предположению [pic] не равна нулю в точке, где
ищется ее производная, то найдем новую функцию [pic] и вычислим ее
производную
[pic] (1)
Отношение [pic] называется логарифмической производной функции [pic]. Из
формулы (1) получаем
[pic]. Или [pic]
Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции [pic].
5. Производные высших порядков
Ясно, что производная[pic]функции y =f (x) есть также функция от x: [pic]
Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается
символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или
производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением [pic]можем
написать [pic]
Очень удобно пользоваться также обозначением [pic], указывающим, что
функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется
третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего
порядка и обозначается символами [pic].
Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x)
обозначается символами [pic]
Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную
второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную
третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших
порядков можно получить в случае произвольной функции.
Например:
1) [pic]; [pic]; [pic]; ...;
[pic]; [pic].
Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании.
Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие –
переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное
количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.
Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков
выполняются для производных высших порядков.
6. Изучение функции с помощью производной
6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения
функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
|[pic] |
|Рис.1 (а) |
|[pic] |
|Рис.1 (б) |
Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b)
функции f(x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют
одинаковые знаки.
График возрастающей функции показан на рисунке1(а).
Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ? f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги реферат, контрольная по физике.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата