Приложения производной
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: оформление доклада, шпаргалка егэ
Добавил(а) на сайт: Самусенко.
Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата
Аналогично, MPk - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:[pic].
Если вложения осуществляются малыми порциями, то [pic].
MPk - характеризует предельную производительность капитала.
Для исследования экономических процессов и решения других прикладных
задач часто используется понятие эластичности функции.
Определение: Эластичностью функции Еx(y) называется предел отношения
относительного приращения функции y к относительному приращению переменной
x при (x(0:
[pic].
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится
функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.
Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой
коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов
увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении)
его цены P на 1%: [pic].
Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене [pic] показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных колебаниях цены товара j (j = 1,2,…n): [pic].
Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход, предназначенный на текущее потребление, изменится на 1%: [pic].
Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической интерпретации математических теорем.
7.2. Применение производной в экономической теории.
Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.
Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если
дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или
наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то
производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.
Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для
производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных
издержек и предельного дохода".
То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если
MC(Qo)=MR(Qo), где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.
Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.
Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором
прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция
П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0.
Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo)
= MC(Qo).
Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее
экономичного производства, при котором средние издержки по производству
товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный
объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.
Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы. Средние издержки AC(Q) определяются как [pic], т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии [pic], откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или [pic], т.е. MC(Q)=AC(Q).
Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.
Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей
доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства
дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса
(трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".
Иными словами, величина [pic], где (y - приращение выпуска продукции, а
(x - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон
убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая
зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.
Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности
U= U(x), где х - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень
субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная
для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом:
с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его
единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно
переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой
вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной
точкой для математического исследования теории спроса и предложения.
7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории.
Задача 1.
Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен
ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента.
Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может
превышать 90 т. в день.
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут
наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:
К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции
У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].
Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на
концах промежутках и в критической точке.
f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.
Задача 2.
Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги реферат, контрольная по физике.
Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата