Приложения производной
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: оформление доклада, шпаргалка егэ
Добавил(а) на сайт: Самусенко.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то высказанное выше утверждение доказано.
|[pic] |
|Рисунок 4. |
Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная).
Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x0 ) = 0 или не существует.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая
y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в
выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 - h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале
(x0, x0 +h) - больше нуля.
Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных
значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.
|[pic] |
|Рисунок 5. |
На рис.5 изображен график функции [pic]. Хотя при x0 = 0 имеется
касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна
нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем [pic]
Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой
перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при
x > 0 f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.
Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является точкой перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно, что в точке A существует касательная.
Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x0 - h < x < x0 и f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда в интервале (x0 - h; x0 ) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) - выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.
6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.
1. Находим область определения функции f(x)
2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим их на чертеж.
3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей координат и начала координат.
4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.
5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.
7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.
8. Вычерчиваем кривую y = f(x).
6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).
Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1)
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен [pic], а уравнение записывается в виде [pic]
7.Экономическое приложение производной.
7.1.Экономическая интерпретация производной
В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги реферат, контрольная по физике.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата