Приложения производной
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: оформление доклада, шпаргалка егэ
Добавил(а) на сайт: Самусенко.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b )
если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения
функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b )
функции f (x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют разные
знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) ? f(x1), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример
такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она
сохраняет постоянное значение C.
Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале
( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале
( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.
Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1 до x2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2 до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся.
График колеблющейся функции показан на рисунке 3.
Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются точками поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их абциссы - критическими значениями аргумента x
f(x0+?x).
На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале
[ x1 , b ) - убывает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)?f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто
максимумом.
Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .
В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината
меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и
слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и
достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке, абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы
которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1) < f (x1+?x).
На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале
( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает, на интервале [ x0 , x1 ] -
сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b )
- возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения
функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)?f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто
минимумом.
Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) .
По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ]
является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала
[ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x), а наименьшим значением
функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для
которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f
(x).
Из этих определений следует, что функция может достигать своего наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки x0 .
Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или экстремального значения).
Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала
[ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше
какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x)
на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого
интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.
Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это
наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из
значений функции на концах интервала.
Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего
значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1 интервала [ x0, x3 ].
На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и
максимумов.
Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не существует.
Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых ее
производная не существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не
дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют
угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.
|[pic] |
|Рис. 6 |
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги реферат, контрольная по физике.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата