Приложения производной
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: оформление доклада, шпаргалка егэ
Добавил(а) на сайт: Самусенко.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной
[f' (x0) = ?] и достигающая в этой точке максимума. При x > x0 и x < x0 f' (x) > +?, при x > x0 и x > x0 f' (x) > -?. Значит касательная кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки называются точками возврата кривой y=f(x).
Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0 производная f' (x) или равна нулю, или не существует.
Этот признак не является достаточным условием существования экстремума функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих экстремума при x = x0.
Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.
6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия экстремума функции.
Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.
Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.
Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").
Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума
функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается
в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0
функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее
окрестности.
6.3 .Правило нахождения экстремума
1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:
1) найти производную данной функции;
2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из
полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства)
по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни
оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;
3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных
стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых
производная равна 0);
4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной
стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то
данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна
слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка
есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как
слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни
максимума, ни минимума, функции;
5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает
максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или
минимума функции.
Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в
число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых
определяется знак производной.
6.4.Точка перегиба графика функции.
Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью
вверх, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).
|Рисунок 1 |
Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1б).
Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0 следует, что для любой точки x из интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x) - y < 0 ( f(x) - y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).
Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с x0, выполняется неравенство f(x) - y < 0 (f(x) - y > 0), то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).
Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b), если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с
увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в
точке с абсциссой x будет уменьшаться.
|[pic] |
|Рисунок 2. |
В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис.
2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой
y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2
видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a.
Следовательно tg? > tg? или f '(x1 ) > f '(x2 ).
Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x)
обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x)
убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная
убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале
(a, b): f ''(x)?0.
|[pic] |
|Рисунок 3. |
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tg? > tg? т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)?0.
Докажем, что и наоборот, если f ''(x)?0 в некотором интервале (a, b), то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x)?0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.
Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой
y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ).
Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ). (1)
Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:
[pic] (2)
Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение
(1), получим:[pic] (3)
Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, где 0 < ? < 1, то имеем f(x) - y ? 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.
Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, то имеем f(x) - y ? 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги реферат, контрольная по физике.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата