Рефераты | Рефераты по математике | Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике | страница реферата 15 | Большая Энциклопедия Рефератов от А до Я
Большая Энциклопедия Рефератов от А до Я
  • Рефераты, курсовые, шпаргалки, сочинения, изложения
  • Дипломы, диссертации, решебники, рассказы, тезисы
  • Конспекты, отчеты, доклады, контрольные работы


    • Рефераты | Рефераты по математике | Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике


    Рефераты | Рефераты по математике | Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

    Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике




    Категория реферата: Рефераты по математике
    Теги реферата: новейшие рефераты, ресурсы реферат
    Добавил(а) на сайт: Янборисов.



    Предыдущая страница реферата | 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 |



    Нахождение экстремума при помощи второй производной

    1°. Лемма. Если при х = с производная положительна (или отрицательна), то в достаточно малой окрестности точки х = с приращение функции и приращение аргумента в точке с имеют одинаковые (или разные) знаки.

    lim (∆y/∆x)>0.

    ∆x→0
    Доказательство от противного. Пусть для определенности f '(c)>0, т. е.

    Предположим, что при стремлении ∆x к нулю приращения ∆y и ∆x имеют разные знаки. Тогда отношение ∆y/∆x отрицательно и его предел

    f '(c) ≤ 0,

    что противоречит условию.

    Так же доказывается и вторая часть леммы.

    2°. Теорема. Если при х = с первая производная функции f(x) равна нулю, f '(c)=0, а вторая производная положительна, f "(c)>0, то в точке х = с функция f(x) имеет минимум;

    если же вторая производная отрицательна, f "(с) < 0, то в точке х = с функция f(x) имеет максимум.

    f ’’(c) = lim ((f’(c + ∆x)-f ’(c))/∆x)>0.

         ∆x→0
    Доказательство. Вторая производная по отношению к первой производной является тем же, чем первая производная по отношению к данной функции, т. е.

    Согласно лемме, если при х = с производная (в данном случае вторая) положительна, то в достаточно малой окрестности 2δ точки с приращение функции (в данном случае первой производной) имеет тот же знак, что и приращение аргумента. Слева от точки с приращение аргумента отрицательно, значит, и приращение функции отрицательно, т.е.

    f '(c — ∆x)—f(c)<0, (0 < ∆x < δ).

    Отсюда:

    f '(c-∆x)<f '(c) = 0.     (1).

    Справа от точки с приращение аргумента положительно, т. е.

    f '(c +∆x)-f '(c)>0.

    Отсюда:

    f '(c + ∆x)>f '(c) = 0.      (2)

    Получили: первая производная функции f(x) слева от точки с отрицательна (1), а справа положительна (2). Значит, в точке х = с функция f(x) имеет минимум, как это и требовалось доказать.

    Так же доказывается теорема и в случае f "(с)<0.

    3°. Доказанная теорема определяет второй способ нахождения экстремума. Он отличается от первого тем, что третья и четвертая операции первого способа заменяются: а) нахождением второй производной и б) определением ее знака в стационарной точке. Результат исследования можно выразить так:

    Если знак числа f "(с),


    Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: греция реферат, республика реферат.



    Предыдущая страница реферата | 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 |




    Поделитесь этой записью или добавьте в закладки

       

    Категории:



    Разделы сайта




    •