Предыдущая страница реферата | 19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 | Следующая страница реферата



Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решении совпадают.

Под множеством допустимых значении неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения функции ¦ (c ).

Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных функции ¦ i(c ), могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств ¾ это значит найти множество всех значении аргументов функции ¦ i(c ), при которых справедливы все неравенства системы одновременно.

Говорят, что системы неравенств эквивалентны, если множества их решении совпадают.

Свойства равносильных неравенств.

При решении неравенств используют свойства равносильности.

Неравенства с одной переменной называются равносильными, если множества их решении совпадают.

Например, неравенства 3х > 6 и х – 2 > 0 имеют одинаковые множества решении хÎ [2; +¥ ]. Эти неравенства – равносильные.

Неравенства х > 0 и х2 > 0 – неравносильные, так как решение первого неравенства есть множество хÎ [0; +¥ ], а решение второго неравенства есть множество хÎ [-¥ ; 0]È [0; +¥ ]. Эти множества не совпадают.

При решении неравенств выполняются только такие преобразования, при которых получаются более простые равносильные неравенства. Эти преобразования возможны при выполнении следующих свойств равносильных неравенств.

Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. Р(х) > Q(x) – неравенство, Т(х) – выражение, которое имеет смысл при всех действительных значениях х, хÎ R.

Доказать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x) – равносильные.

Доказательство. а) Пусть при х = а неравенство Р(а) > Q(a) – верное числовое равенство, т.е. х =а – одно из решении неравенства Р(х) > Q(x), Т(а) – значение Т(х) при х =а.

По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) > Q(a) + T(a) – верное числовое неравенство.

Следовательно, х = а – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x). Поэтому, если х =а есть решение первого неравенства, то это значение есть также решение второго неравенства.

б) Пусть х = b – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x), т.е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b) –верное числовое неравенство. По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство. Следовательно, х = b – решение неравенства P(x) > Q(x).

Так как множества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) + T(x) > > Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.

Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при вех хÎ R, перенести из одно части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.

Дано. P(x) + T(x) > Q(x) – неравенство, Т(х) – слагаемое, которое имеет смысл при всех хÎ R.

Доказать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) > Q(x) – T(x) – равносильные.

Доказательство. По свойству 1 можно к обеим частям неравенства P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), так как это слагаемое имеет смысл при всех хÎ R; получим равносильное неравенство:

P(x) + T(x) – T(x) > Q(x) – T(x), отсюда P(x) > Q(x) – T(x).

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. P(x) > Q(x) – неравенство (1),

T(x) > 0, xÎ R,

P(x)× T(x) > Q(x)× T(x) – неравенство (2).

Доказать. Неравенства (1) и (2) равносильные.

Доказательство. Пусть при х = а P(a) > Q(a) – верное числовое неравенство, т.е. х = а – одно из решении первого неравенства. T(a) – значение Т(х) при х = а Т(а) > 0.

По свойству числовых неравенств P(a)× T(a) > Q(a)× T(a) – тоже верное числовое неравенство, т.е. х = а –одно из решении первого неравенства. Следовательно, если х= а – решение первого неравенства, то х = а – также решение второго неравенства.

Пусть при х = b неравенство P(b)× T(b) > Q(b)× T(b) – верное числовое неравенство, т.е. х = b – одно из решении второго неравенства.

По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство, так как T(b) > 0. Следовательно, х = b – одно из решении первого неравенства.

Поскольку множества решении первого и второго неравенств совпадают, то они равносильные.

Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.

Алгебраические неравенства.

Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ³ 0, ax + b £ 0, a ¹ 0,

решениями которых будут:

0

xÎ (-b/a  ; ¥ ), xÎ ( -¥ ; -b/a   ), xÎ [ -b/a ; ¥ ), xÎ ( -¥ ; -b/a],

при а < 0

xÎ ( -¥ ; -b/a), xÎ ( -b/a ; ¥ ), xÎ ( -¥ ; -b/a], xÎ [ -b/a ; ¥ ).

Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax2 + bx + c > 0,ax2 + bx + c < 0,

ax2 + bx + c ³ 0,ax2 + bx + c £ 0,

где a, b, c ¾ некоторые действительные числа и а ¹ 0.

Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значении своих коэффициентов a, b и c имеет решения:

при а > 0 и D = b2 – 4ac ³ 0

xÎ ( -¥ ;  )È (; ¥ );

при а > 0 и D < 0 x ¾ любое действительное число;

при а < 0 и D ³ 0

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: первый снег сочинение, научный журнал.



Предыдущая страница реферата | 19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки