Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

называется нормой функции f.

Норма обладает следующими свойствами:

1) || f || ? 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f

= 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек;

2) || f + ? || ? || f(x) || || ? ||;

3) || ? f || = | ? | · || f ||,

где ? – действительное число.

Второе свойство на языке интегралов выглядит так:

[pic]

и называется неравенством Минковского.

Говорят, что последовательность функций { fn }, принадлежит к
[pic],сходится к функции принадлежит [pic] в смысле среднего квадратического на [a, b] (или ещё по норме [pic]), если

[pic]

Отметим, что если последовательность функций fn (x) сходится равномерно к функции f(x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность f(x) - fn (x) по абсолютной величине должна быть мала для всех х из отрезка [a, b].

В случае же, если fn (x) стремится к f(x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n.

Пример. Пусть на [0, l ] заданна изображенная на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция fn (x) (n = 1, 2,…), причем

[pic]

(Бугров, стр. 281, рис. 120)

При любом натуральном n

[pic]

и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю при n > ?, но неравномерно. Между тем

[pic]

[pic]

т. е. последовательность функций {fn (х)} стремится к нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1].

Из элементов некоторой последовательности функций f1, f2, f3,…
(принадлежащих [pic]) построим ряд

f1 + f2 + f3 +… (12)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: эффективность диплом, доклад по обж.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки