Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата

где коэффициенты a0, ak, bk вычисляются по формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l.

Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2?, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l.

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) с периодом 2 l, которая на отрезке
[-l , l] задается равенством f(x) = | x |.

(Пискунов, стр.342, рис. 383)

Решение. Так как рассматриваемая функция – четная, то

[pic]

Следовательно, разложение имеет вид

[pic]

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию f(x) в точках её непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию f1(x) с периодом 2? ? a - b, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b]. Таким образом, дополнили определение функции f(x).

Разложим функцию f1(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f(x), т. е. мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним определение данной функции так, чтобы при - l ? х < 0 было f(x) = f(-x). В результате получится четная функция. В этом случае говорят, что функция f(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию f(x) мы разложили по косинусам.

Если мы продолжим определение функции f(x) при - l ? х 0 ( позднее будет рассмотрен случай ? < 0). Итак,

[pic]

Из этих равенств получаем два уравнения:

X'' + ?X = 0, (114)

T'' + a2 ?T = 0. (115)

Общие решения этих уравнений будут:

[pic]

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Подставляя выражения X(x) и T(t) в равенство (112), получим:

[pic]

Подберем теперь постоянные А и В так, чтобы удовлетворялись условия
(108) и (109). Так как T (t) тождественно неравна нулю (в противном случае u (x, t) ? 0, что противоречит поставленному условию),то функция X (x) должна удовлетворять условиям (108)

и (109), т. е. должно быть Х (0) =0, Х (?) = 0. Подставляя значения х=0 и х = ? в равенство (116), на основании (108) и (109) получаем:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: эффективность диплом, доклад по обж.



Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки