Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Введение в нестандартный анализ

Что такое бесконечно малые?

Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю.

Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное число , если оно меньше всех положительных чисел. Легко понять, что такого не бывает: если  больше нуля, то оно является одним из положительных чисел, поэтому наше определение требует, чтобы число  было меньше самого себя. Поэтому потребуем, чтобы  было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое  должно изобразиться самой левой точкой множества . К сожалению числа  с указанными свойствами тоже нет и быть не может: число  будет положительным числом, меньшим .

Более точное определение бесконечной малости числа >0 , которое мы будем использовать вдальнейшем таково. Будем складывать число  с самим собой, получая числа + и т. д. Если все полученные числа окажутся меньше 1, то число  и будет называться бесконечно малым. Другими словами, если  бесконечно мало, то сколько раз не откладывай отрезок длины  вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому  можно переписать в такой форме

1<

Таким образом, если число  бесконечно мало, то число  бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел: 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т.д. Из сказанного можно видеть, что существование бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В).

Вывод таков: если мы хотим рассматривать бесконечно малые, мы должны расширить множество R действительных чисел до некоторого большего множества *R. Элементы этого нового множества мы будем называть гипердействительными числами. В нём аксиома Архимеда не выполняется, и существуют бесконечно малые числа, такие, что, сколько их не складывай с собой, сумма будет всё время оставаться меньше 1. Нестандартный, или неархимедов, анализ изучает множество гипердействительных чисел *R.

Какие требования естественно предъявлять к гипердействительным числам?

1). Чтобы множество гипердействительных чисел содержало все обыкновенные действительные числа: R *R.

2).Чтобы над гипердействительными числами можно было выполнять обычные операции: любые два гипердействительные числа нужно уметь складывать, умножать, вычитать и делить, причем так, чтобы выполнялись обычные свойства сложения и умножения. Кроме того, нужно уметь сравнивать гипердействительные числа по величине, т.е. решить какое из них больше.

Пусть имеется некоторое множество Р, в нём выделены некоторые элементы 0 и 1 и определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, ставящие в соответствие двум любым элементам  и  множества Р их сумму  , произведение , разность  и частное  (если ). Пусть при этом перечисленные операции обладают всеми обычными свойствами.

;

;

;

;

;

;

;

;

 (если ).

В таком случае множество Р называется полем. Пусть на поле Р введён порядок, т. е. для любой пары не равных друг другу элементов  и  определено, который из них больше. При этом выполняются такие свойства:

если  и  , то ;

если , то  для любого ;

если , , то ;

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: правовые рефераты, задачи с ответами.



Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки