Рефераты | Рефераты по математике | Разбиение чисел Разбиение чисел Категория реферата: Рефераты по математике Теги реферата: продукт реферат, конспект Добавил(а) на сайт: Pechenikov. Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата (1 – x)(1 – x3)(1 – x5) ...

.

(2)

Значит, производящие функции последовательностей d(n) и l(n) совпадают! Мы доказали теорему Эйлера: d(n) = l(n). Это доказательство хорошо иллюстрирует силу метода производящих функций.

Но вернёмся к вычислению p(n). Изучая производящую функцию последовательности p(n), Эйлер сосредоточил внимание на произведении (1–x)(1–x2)(1–x3)..., т.е. на знаменателе правой части формулы (1). Раскрывая в нём скобки, Эйлер получил удивительный результат:

(1 – x)(1 – x2)(1 – x3) ... = 1 – x – x2 + x5 + x7 – x12 – x15 + x22 + x26 – x35 – x40 + ...

Показатели в правой части — пятиугольные числа, т.е. числа вида (3q2 ± q)/2, а знаки при соответствующих мономах равны (–1)q. Исходя из этого наблюдения, Эйлер предположил, что должна быть верна

Пентагональная теорема:

∞		∞
∏	(1 – xk) =	∑	(–1)qx(3q²+q)/2.
k=1		q=–∞

Пентагональная теорема оказалась «крепким орешком» — Эйлер сумел доказать её лишь 14 лет спустя. Эта теорема позволяет сравнительно просто вычислять значения p(n). Вот как это делается.

Умножим обе части равенства (1) на

∞
∏	(1 – xk)
k=1

и воспользуемся пентагональной теоремой:

( p(0) + p(1) x + p(2) x2 + ...)(1 – x – x2 + x5 + x7 – x12 – x15 + ...) = 1.

Раскрыв скобки в левой части, получим, что коэффициенты при ненулевых степенях x равны нулю. Отсюда мы получаем замечательную формулу Эйлера, позволяющую последовательно находить числа p(n):

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: проблема дипломной работы, шпаргалки по русскому.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки