Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для n

Лемма 4. Для любого изображения решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом .

Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор fi оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению i, можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

,

составляющие содержание леммы. Действительно, если то согласно (23) , поскольку включение означает, что; отсюда и из (25) получим, что ,i=1,...,N, а поэтому и в (24) .

Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e1,...,en, в котором , выходной сигнал i-го детектора в точке (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,

где , .

Так как матрица симметрическая и неотрицательно определенная () она имеет n неотрицательных собственных значений, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение - алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:

. Следовательно, вектор fi определен с точностью до положительного множителя , .n

Замечание 4.

Если , т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в теореме 3 , .

Наоборот, если , то

, т.е. определяется выражением (17), в котором .

Итак, пусть в изображении g(× ) (17) все векторы f1,.…..,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A1,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком смысле изображения (17) есть множество решений уравнения

,,(27)

где , fi - собственный вектор оператора Фi: , отвечающий максимальному собственному значению i, i=1,...,N . В данном случае , если и только если выполнено равенство (27).

Оператор (24), дающий решение задачи наилучшего приближения , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения (17).

Заданы векторы цвета j 1,..., j q, требуется определить разбиение A1,..., Aq, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета j 1,..., j q и оптимальные распределения яркостей .

Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения

.(28)

Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого

,(29)

и достигается на

,(30)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: оформление доклада титульный лист, понятие культуры.



Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки