Сопряжённые числа
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: шпоры по истории россии, реферат государственный
Добавил(а) на сайт: Устимович.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Рефераты | Рефераты по математике | Сопряжённые числа |
Теперь ясно, что an возрастает и стремится к пределу 1/2.
В противоположность предыдущему примеру здесь мы имеем дело с хорошим приближением: √n² + 1 – n < 1/2n.
4 (M532). Даны две последовательности an = √n+1 + √n и bn = √4n+2. Докажите, что
а) [an] = [bn],
б) 0 < bn – an < 1/16n√n.
В разности bn – an появляется «тройная иррациональность»; к таким иррациональностям мы ещё вернёмся (см. задачу 8), но пока мы будем рассматривать √n+1 + √n = an как одно целое. Заметим, что величина an2=2n+1+2√n(n+1), очевидно, заключена между 4n+1 и 4n+2=bn2, поскольку n < √n(n+1) < n+1. Итак, мы уже получили an < bn — левое неравенство в б). Кроме того, число bn2 = 4n+2, дающее при делении на 4 в остатке 2, не может быть полным квадратом (проверьте!), поэтому квадрат целого числа [bn] не больше 4n+1; из неравенств [bn] ≤ √4n+1 < an < bn вытекает а). Теперь осталось оценить разность bn – an сверху. Посмотрите, как здесь дважды работает переброска «сопряжённого» числа в знаменатель:
|
√4n+2 – √n – √n+1 = |
2n + 1 – 2√n(n + 1) √4n + 2 + √n + √n + 1 |
= |
|
= |
1 (√4n + 2 + √n + √n + 1)(2n + 1 + 2√n(n + 1) ) |
≤ |
(тут, конечно, нам повезло:
разность квадратов (2n + 1)2 – 4n(n + 1) равна 1)
|
≤ |
1 (2√n + √n + √n)(2n + 2n) |
= |
1 16n√n |
. |
Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многими радикалами) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа — заменить переменную n на h = 1/n и воспользоваться формулой Тейлора √1 + h = 1 + h/2 – h2/8 + ... (См. [6 ].)
Заменим плюс на минус
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: ответы по биологии, сочинение ревизор.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата