Различные подходы к определению проективной плоскости
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: цивилизация реферат, человек реферат
Добавил(а) на сайт: Karantirov.
Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата
так как R= BCÇ B’C’
С помощью условия коллинеарности трех () убедимся, что () P,Q,R лежат на одной прямой.
Имеем
Условие коллинеарности выполнено, следовательно, P,Q,R Î одной прямой.
Теорема доказана.
Глава 3. Аксиоматическое построение проективной плоскости. 3.1. Аксиоматика аффинной плоскости.Начнем с некоторых наиболее простых фактов обычной плоской геометрии, которые мы применим в качестве аксиом при синтетическом построении теории.
Определение: Аффинной плоскостью называют множество элементов, именуемых точками и систему его подмножеств, именуемых прямыми, причем должны выполнятся три формулируемые ниже аксиомы А1-А3.
А1: Для " двух различных точек Р и Q $ единственная прямая, проходящая через них.
Две прямые называются параллельными, если они совпадают или не имеют общих точек.
А2: Для " заданной прямой l и точки Р $ одна и только одна проходящая через Р прямая m: m || l
А3: $ три неколлинеарные точки (Точки Р1,Р2,…Рn называются коллинеарными, если $ прямая l, что все эти точки ей принадлежат).
Пример: Евклидова плоскость Е2 удовлетворяет аксиомам А1-А3, то есть является аффинной плоскостью.
Пример: Аффинная плоскость имеет, по крайней мере, четыре различных точки; плоскость состоящая ровно из четырех () существует.
Действительно в силу А3 на плоскости есть три неколлинеарные точки; обозначим их через P,Q,R. Согласно А2, $ прямая l , проходящая через Р и параллельной прямой QR, соединяющей Q и R (эта прямая $ по А1). Точно так же доказывается $ прямой
m || PQ, проходящей через R.
Покажем теперь, что l || m.
же S¹ R. Таким образом, четвертая () S необходимо должна существовать и наше первое утверждение доказано.
Теперь рассмотрим прямые PR и QS. Они могут пересекаться, но они могут и не пересекаться - это не противоречит аксиомам.
В этом случае мы получаем аффинную плоскость, содержащую ровно четыре () P,Q,R,S и шесть прямых PQ,РR,PS,QR,QS,RS.
Аксиомы А1-А3 здесь выполняются, таким образом, мы получим аффинную плоскость , содержащую наименьшее возможное число (), а именно, четыре.
3.2. Аксиоматика проективной плоскости.Определение: Проективной плоскостью S называют множество, элементами которого именуются точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняются следующие четыре аксиомы.
П1.Через две различные точки P и Q плоскости S можно провести единственную прямую.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: конспект урока 8 класс, шпаргалка егэ.
Предыдущая страница реферата | 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | Следующая страница реферата