Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

0 = А · 1 + В · 0,

[pic]

Из первого уравнения находим А = 0. Из второго следует:

[pic]

В ? 0, так как в противном случае было бы Х ? 0 и u ? 0, что противоречит условию. Следовательно, должно быть

[pic]

откуда

[pic]

(мы не берем значение n = 0, так как в этом случае было бы Х ? 0 и u ?
0). Итак, мы получили:

[pic]

Найденные значения ? называются собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции Х (х) называются собственными функциями.

Замечание. Если бы мы знали вместо – ? выражение + ? = k2, то уравнение
(114) приняло бы вид

Х''- k2Х = 0.

Общее решение этого уравнения:

Х = Аekx + Be -kx .

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (108) и (109).

Зная ?1/2, мы пользуясь равенством (117) , можем написать:

[pic]

Для каждого значения n, следовательно, для каждого ?, выражения (119) и
(120) подставляем в равенство (112)и получаем решение уравнения (107), удовлетворяющее граничным условиям (108) и (109). Это решение обозначим un
(x, t):

[pic]

Для каждого значения n мы можем брать свои постоянные C и D и потому пишем Cn и Dn (постоянная В включена в Cn и Dn). Так как уравнение (107) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция, представленная рядом

[pic]

или

[pic]также будет решением дифференциального уравнения (107), которое будет удовлетворять граничным условиям (108) и (109). Очевидно, ряд (122) будет решением уравнения (107) только в том случае, если коэффициенты Cn и
Dn таковы, что этот ряд сходится в ряды получающиеся после двукратного почленного дифференцирования по х и по t.

Решение (122) должно еще удовлетворять начальным условиям (110) и
(111). Этого мы будем добиваться путем подбора постоянных Cn и Dn.
Подставляя в равенство (122) t = 0, получим :

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: эффективность диплом, доклад по обж.



Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки