Ряды Фурье и их приложения
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат на тему отношения, строительные рефераты
Добавил(а) на сайт: Fevron'ja.
Предыдущая страница реферата | 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 | Следующая страница реферата
[pic]
Если функция f(x) такова, что в интервале (0, ?) ее можно разложить в ряд Фурье, то условие (123) будет выполняться, если положить
[pic]
Далее, дифференцируем члены равенства (122) по t и подставляем t = 0.
Из условия (111) получается равенство
[pic]
Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:
[pic]
или
[pic]
Итак, мы доказали, что ряд (122), где коэффициенты Cn и Dn определены
по формулам (124) и (125), если он допускает двукратное почленное
дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является
решением уравнения (107) и удовлетворяет граничным и начальным условиям
(108) – (111).
Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (122) представляет собой решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция f(x) должна быть дважды дифференцируемой, а функция ?(x) – один раз дифференцируемой.
Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи.
Рассмотрим однородный стержень длины ?. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.
Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = , а другой – с точкой х = ?.
Пискунов стр 252, рис. 373
Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой
[pic]
где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.
Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1 = ?х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время ?t, будет равно
[pic]
то же самое с абсциссой х2:
[pic]
Приток ?Q1 - ?Q2 в элемент стержня за время ?t будет равняться:
[pic]
Этот приток тепла за время ?t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину ?u:
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: эффективность диплом, доклад по обж.
Предыдущая страница реферата | 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 | Следующая страница реферата