Рефераты | Рефераты по математике | Сопряжённые числа |
= |
|
= |
1 (√4n + 2 + √n + √n + 1)(2n + 1 + 2√n(n + 1)) |
≤ |
(тут, конечно, нам повезло:
разность квадратов (2n + 1)2 – 4n(n + 1) равна 1)
|
≤ |
1 (2√n + √n + √n)(2n + 2n) |
= |
1 16n√n |
. |
Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многими радикалами) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа — заменить переменную n на h = 1/n и воспользоваться формулой Тейлора √1 + h = 1 + h/2 – h2/8 + ... (См. [6 ].)
Заменим плюс на минус
Мы уже говорили о пользе симметрии в геометрических задачах. Своего рода симметрией в алгебре является замена плюса на минус.
Так, если какое-либо выражение от √d равно p + q√d и мы всюду в этом выражении заменим √d на –√d, то естественно ожидать, что новое выражение окажется равным сопряженному числу p – q√d. Мы будем пользоваться таким очевидным частным случаем этого свойства (a и b — рациональны, √d — нет):
|
(a + b√d)n = p + q√d => (a – b√d)n = p – q√d. |
(4) |
5. Доказать, что уравнение
(x + y√5)4 + (z + t√5)4 = 2 + √5
не имеет решений в рациональных числах x, y, z, t.
Можно, конечно, найти отдельно сумму членов левой части, не содержащих √5 (она должна быть равна 2), и отдельно — коэффициент при √5 (он должен равняться 1). Но что делать с полученной громоздкой системой неясно. Вместо этого воспользуемся (4) и заменим плюс перед √5 на минус!
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: картинки реферат, реферат на тему личность.
